Hai Sobat, masih ingat dengan pembahasan Blog Quipper sebelumnya tentang barisan aritmatika? Ayo, apa itu barisan aritmetika? Ya, itu benar. Barisan aritmetika adalah barisan yang selisih suku-sukunya sama. Nah, pada artikel kali ini Quipper Blog juga akan membahas tentang barisan aritmatika, tetapi aritmatika bertingkat. Jangan khawatir, bahannya mudah. Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!
Definisi Aritmatika Bertingkat
Deret aritmetika bertingkat adalah deret aritmetika khusus yang memiliki perbedaan variabel pada derajat pertamanyatetapi memiliki selisih tetap pada taraf ke-n, dimana n lebih besar dari 1. Contoh barisan aritmetika bertingkat adalah sebagai berikut.
2, 5, 10, 17, 26
Perhatikan urutan ini, perbedaan suku-suku pada tingkat pertama tidak tetap, bukan? Oleh karena itu, barisan tersebut dikatakan barisan aritmetika bertingkat. Lalu, kenapa disebut aritmatika bertingkat? Ikuti pembahasannya sampai akhir ya!
Jenis Aritmatika Berstratifikasi
Jenis deret aritmetika bertingkat ini dimulai dari tingkat yang paling mudah yaitu tingkat pertama sampai tingkat ke-n, dimana n bisa sampai tak terhingga. Namun pada artikel kali ini Quipper Blog hanya akan membahas aritmatika dua tingkat dan aritmatika tiga tingkat. Ingin tahu lebih banyak?
Aritmatika Dua Derajat
Aritmatika dua tingkat adalah aritmatika yang selisihnya selalu dalam barisan derajat kedua. Nah, urutan level kedua didapat dari selisih urutan level pertama.
Persamaan aritmatika dua tingkat umum
Persamaan umum aritmatika bertingkat adalah persamaan polinomial derajat kedua. Secara matematis, persamaan umum aritmatika dua tingkat adalah sebagai berikut.
Rumus Aritmatika Dua Derajat
Dengan :
kamuN = suku ke-n;
a, b = koefisien untuk mencari nilai
c = konstanta yang nilainya harus dicari
n = istilah posisi
Lalu, bagaimana cara menentukan nilai a, b, dan c? Mari ikuti langkah-langkah ini.
Pertama, buat barisan dengan n = 1, 2, 3, 4, dst, dengan mensubstitusikan nilai n = 1, 2, 3, dst ke dalam persamaan aritmatika umum dua tingkat.
Untuk n = 1
kamu1 = an + bn + c = a(1)2 + b(1) + c = a + b + c
Untuk n = 2
kamu2 = an2 + bn + c = a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c
Untuk n = 3
kamu3 = an2 + bn + c = a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c
Untuk n = 4
kamu3 = an2 + bn + c = a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c
Kemudian, susunlah suku-suku tersebut dalam bentuk deret sebagai berikut.
Dari suku-suku di atas, tentukan selisih derajat pertama dan kedua sebagai berikut.
Pada suku tingkat kedua, hanya diperoleh selisih tetap, yaitu 2a
Coba perhatikan suku-suku yang ada di kotak bertitik. Anda dapat membuat persamaan kesukuan SUPER “Quipper Solution” untuk mencari nilai a, b, dan c pada soal.
Contoh aritmatika dua tingkat
Lalu, bagaimana cara menentukan suku ke-n dari aritmetika dua tingkat? Perhatikan contoh berikut.
Tentukan suku ke-10 dari barisan berikut.
2, 5, 10, 17, 26, 37, …, ….
Diskusi:
Dari barisan 2, 5, 10, 17, 26, 37 terlebih dahulu tentukan selisih setiap suku pada derajat pertama.
Penjelasan di atas menunjukkan bahwa selisih setiap suku pada tingkat pertama berbeda-beda, yaitu 3, 5, 7, 9, 11. Jadi, selisih tingkat pertama tingkat pertama dapat Anda jadikan barisan aritmetika.
Dari susunan level pertama itu, apa yang bisa Anda simpulkan? Ternyata, istilah-istilah di tingkat kedua memiliki perbedaan yang tetap seperti yang dijelaskan di bawah ini.
Jika diminta menentukan suku ke 10, tentu cara seperti di atas kurang efektif. Ingat, Anda memiliki banyak angka untuk dijumlahkan. Untuk memudahkan Anda menentukan suku ke-n, gunakan persamaan aritmetika umum dua tingkat. Untuk melakukannya, terlebih dahulu tentukan koefisien a, b, dan konstanta c menggunakan persamaan SUPER “Solusi Quipper” yang telah dijelaskan sebelumnya.
Dengan demikian, diperoleh hubungan berikut.
a + b + c = 2 …(1)
3a + b = 3 …(2)
2a = 2 …(3)
Dari persamaan di atas, kamu bisa menentukan nilai a, b, dan c sebagai berikut.
Poin a
2a = 2
⇔ a = 1
nilai b
Substitusikan nilai a = 1 ke dalam persamaan (2)
3a + b = 3
⇔ 3(1) + b = 3
⇔b = 0
nilai c
Substitusikan nilai a dan b ke dalam persamaan (1)
a + b + c = 2
⇔ 1 + 0 + c = 2
⇔c = 1
Jadi, persamaan umum barisan 2, 5, 10, 17, 26, 37 adalah sebagai berikut.
XN = an2 +bn +c
= n2 +1
Jika Anda diminta untuk menentukan suku ke-10, hasilnya adalah:
kamuN = n2 +1
⇔ U10 = 102 +1
⇔ U10 = 101
Jadi, suku ke-10 dari barisan tersebut adalah 101.
Sampai di sini, apakah Sobat sudah paham? Jangan khawatir, masih ada satu sesi lagi yaitu aritmatika tiga tingkat. Ayo, tetap semangat!
Aritmatika Tiga Derajat
Aritmetika tiga tingkat adalah deret aritmetika yang selisih tetapnya berada pada deret derajat 3. Konsep dasar aritmatika tiga tingkat hampir sama dengan aritmatika dua tingkat. Hanya saja persamaan umum keduanya berbeda.
Persamaan aritmatika umum tiga tingkat
Persamaan aritmatika umum derajat ketiga adalah persamaan polinomial derajat ketiga. Secara matematis, persamaan aritmatika tiga tingkat umum adalah sebagai berikut.
Rumus Aritmatika Tiga Derajat
Dengan:
Un = suku ke-n
a, b, c = koefisien untuk mencari nilai
d = konstanta yang nilainya harus dicari
n = istilah posisi
Sama seperti aritmetika dua tingkat, untuk memudahkan Anda menentukan suku ke-n dari barisan aritmatika tiga tingkat, tentukan terlebih dahulu persamaan dasar dari suku pertama pada setiap tingkat deret tersebut. Persamaan tersebut berisi variabel a, b, c, dan d.
Pertama, buat barisan dengan n = 1, 2, 3, 4, dst, dengan mensubstitusikan nilai n = 1, 2, 3, dst ke dalam persamaan aritmatika umum dua tingkat.
Untuk n = 1
kamu1 = an3 + bn2 + cn + d = a(1)3 + b(1)2 + c(1) + d = a + b + c + d
Untuk n = 2
kamu2 = an3 + bn2 + cn + d = a(2)3 + b(2)2 + c(2) + d = 8a + 4b + 2c + d
Untuk n = 3
kamu3 = an3 + bn2 + cn + d = a(3)3 + b(3)2 + c(3) + d = 27a + 9b + 3c + d
Untuk n = 4
kamu4 = an3 + bn2 + cn + d = a(4)3 + b(4)2 + c(4) + d = 64a + 16b + 4c + d
Untuk n = 5
kamu5 = an3 + bn2 + cn + d = a(5)3 + b(5)2 + c(5) + d = 125a + 25b + 5c + d
Untuk n = 6
kamu6 = an3 + bn2 + cn + d = a(6)3 + b(6)2 + c(6) + d = 216a + 36b + 6c + d
Kemudian, susunlah suku-suku tersebut dalam bentuk deret sebagai berikut.
Urutan di atas menunjukkan bahwa perbedaan tetap diperoleh pada urutan tingkat ketiga. Persamaan suku pertama pada setiap tingkat berada di dalam tanda putus-putus. Persamaan ini adalah SUPER “Quipper Solution” untuk menentukan nilai a, b, c, dan d.
Contoh aritmatika tiga tingkat
Lalu, bagaimana cara menentukan suku ke-n dari aritmetika tiga tingkat? Perhatikan contoh berikut.
7, 10, 14, 23, 41, 72, 120
Tentukan suku ke-23 dari barisan di atas!
Diskusi :
Langkah pertama, tentukan selisih dari segi urutan tingkat pertama.
Perbedaan suku di tingkat pertama berbeda. Jadikan selisih suku-suku tersebut derajat pertama dari barisan tersebut, kemudian tentukan selisih barisan kedua.
Sampai level kedua, ternyata selisihnya masih beda. Jadikan selisih barisan tingkat kedua sebagai barisan orde kedua, kemudian tentukan selisihnya lagi.
Rupanya, perbedaan tetap diperoleh pada tingkat ketiga. Lalu, bagaimana jika Anda diminta menentukan suku ke-23? Anda dapat menentukan suku ke-n dengan persamaan aritmatika umum tiga tingkat.
Dari hubungan di atas, diperoleh persamaan berikut.
a + b + c + d = 7 …(1)
7a + 3b + c = 3 …(2)
12a + 2b = 1 …(3)
6a = 4 …(4)
Dari persamaan di atas, tentukan nilai a, b, c, dan d.
Poin a
6a = 4
⇔a = 2/3
nilai b
Substitusikan nilai a = 2/3 ke dalam persamaan (3)
12a + 2b = 1
⇔ 12(2/3) + 2b = 1
⇔ 2b = -7
⇔b = -7/2
nilai c
Substitusikan nilai a dan b ke dalam persamaan (2).
bernilai
Substitusikan nilai a, b, dan c ke dalam persamaan (1).
Jadi, persamaan umum barisan 7, 10, 14, 23, 41, 72, 120 adalah sebagai berikut.
Selanjutnya, tentukan suku ke-23 atau U23.
Jadi, suku ke-23 adalah 6.464.
Tanpa rumus barisan aritmatika tiga tingkat, Anda pasti akan kesulitan menentukan suku ke-23. Itu karena, semakin besar posisi suku, semakin banyak pula jumlah yang harus dijumlahkan. Jadi bagaimana jika Sobat ingin mencoba aritmatika empat atau lima derajat? Jangan khawatir, Anda dapat menggunakan persamaan umum berikut.
Persamaan Aritmatika Bertingkat Umum
Persamaan aritmatika bertingkat umum diklasifikasikan sebagai persamaan derajat polinomial, di mana suku tertinggi menunjukkan derajat maksimum barisan. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel persamaan umum berikut.
| Tingkat | persamaan umum |
|---|---|
| 1 | kamuN = an + b |
| 2 | kamuN = an2 +bn +c |
| 3 | kamuN = an3 + bn2 + cn + d |
| 4 | kamuN = an4 + bn3 +cn2 + dn + e |
| 5 | kamuN = an5 + bn4 +cn3 + dn2 + en + f |
Dari tabel di atas terlihat bahwa semakin besar nilai n maka semakin panjang pula langkah yang harus dilalui. Dengan cara yang sama, Anda dapat mencoba aritmatika tingkat empat atau lima.
Ternyata aritmatika bertingkat membutuhkan ketelitian dan kejelian, Sobat. Agar kamu lebih paham, sering-seringlah berlatih soal-soalnya ya.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, buruan gabung dengan Quipper Video. Salam Quippers!