Bilangan Real: Pengertian, Sistem, Contoh Soal

Dalam operasi Matematika tentunya akan melibatkan berbagai jenis bilangan di dalamnya, salah satunya adalah bilangan real. Bilangan real milik salah satu dari dua klasifikasi utama sistem bilangan bersama dengan bilangan imajiner.

Definisi Bilangan Riil

Bilangan real adalah kebalikan dari bilangan imajiner yang termasuk dalam salah satu sistem bilangan klasifikasi. Bilangan real adalah sistem bilangan yang ditemui dalam kehidupan sehari-hari, sedangkan bilangan imajiner, seperti namanya, adalah bilangan yang tidak mungkin secara matematis.

Bilangan imajiner itu sendiri merupakan bilangan real yang kemudian dikalikan dengan unsur imajinernya yaitu √-1. Bilangan imajiner √-1 dilambangkan dengan Saya tidak mungkin karena tidak ada akar -1. Bilangan di dalam akar harus selalu positif karena merupakan hasil kali pangkat dua atau kuadrat yang selalu positif.

Bilangan real yang merupakan bilangan real terdiri dari gabungan bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan real disimbolkan dengan notasi R yang terdiri dari berbagai jenis bilangan yang biasa dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.

Bilangan riil meliputi bilangan bulat, bilangan asli, bilangan desimal, pecahan dan lain-lain yang merupakan bilangan rasional. Pada Gambar 1 di bawah ini adalah diagram Venn yang menunjukkan himpunan bilangan real yang terdiri dari berbagai himpunan bilangan.

Informasi:

R = Himpunan bilangan real
N = himpunan bilangan asli (natural)
Q = himpunan bilangan rasional
Z = Himpunan bilangan bulat

Sifat-sifat Bilangan Riil

Bilangan real memiliki beberapa sifat utama, yaitu:

1. Properti Aljabar

Sifat aljabar bilangan real merupakan operasi biner yang melibatkan beberapa operasi komputasi seperti sifat komutatif, sifat asosiatif, dan sebagainya.

• Sifat komutatif penjumlahan dan perkalian atau pertukaran sebagai penjumlahan seperti c + d = d + c untuk semua bilangan real c dan d

• Sifat asosiatif penjumlahan dan perkalian adalah pengelompokan bilangan (c + d) + a = c + (d + a)

• Sifat keberadaan unsur nol dimana 0 adalah bilangan real sehingga 0 + c = c dan c + 0 = c

• Sifat penjumlahan invers yang jika bilangan sama tetapi negatif ditambahkan ke bilangan positif maka hasilnya nol, seperti c + (-c) = 0

• Sifat keberadaan unsur satuan 1 adalah jika suatu bilangan dikalikan 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri seperti 2 x 1 = 2 dan 1 x 3 = 3.

• Sifat distributif perkalian adalah cx (b + a) = (c .b) + (c .a)

2. Properti Urutan

• Trikotomi, yaitu jika variabel x dan y bilangan real, maka harus terdapat salah satu dari tiga relasi berikut:
  x > y, x

• Sifat transitif adalah sifat hubungan antar bilangan dimana jika c berhubungan dengan d, maka d berhubungan dengan e, maka c berhubungan dengan e secara langsung. Misalnya c

• Penjumlahan dan pengurangan, misalnya jika a

• Operasi perkalian dengan bilangan negatif dan positif. Perkalian dengan negatif akan mengubah tanda pertidaksamaan. Misalnya:
  Jika c Jika c dg

3. Properti Kelengkapan

Sifat kelengkapan himpunan bilangan real menyatakan bahwa banyaknya bilangan real pada garis bilangan yang terisi penuh sehingga tidak ada celah di antaranya.

Contoh Penerapan Bilangan Riil

Bilangan real diterapkan dalam berbagai bidang kehidupan karena merupakan bilangan real. Semua bilangan yang sering kita gunakan adalah bilangan real seperti bilangan bulat, bilangan asli, bilangan bulat, bilangan desimal dan pecahan.

Bilangan real digunakan dalam persamaan dalam fisika, matematika, kimia, ekonomi dan sebagainya. Bilangan real juga digunakan dalam denominasi mata uang, pembukuan, dan sebagainya.

Sistem Bilangan Asli

Sistem bilangan real meliputi bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang ditulis sebagai perbandingan bilangan bulat a dan b dalam bentuk pecahan a/b dimana b tidak sama dengan 0.

Bila bilangan rasional ditulis dalam bentuk pecahan desimal, maka akan terbentuk bilangan yang bilangannya berhenti pada nilai tertentu atau jika tidak berhenti maka membentuk pola bilangan tertentu. Bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat, pecahan, bilangan bulat, bilangan asli dan lain-lain.

Bilangan irasional termasuk bilangan real berupa pecahan desimal tak hingga, artinya bilangan tersebut tidak akan pernah berhenti dan tidak berpola. Bilangan irasional, misalnya, adalah akar kuadrat dari 2, konstanta phi, ke bilangan Euler (e) yang merupakan nilai e = 2.718281828… (dan kemudian tidak berhenti).

Contoh Bilangan Asli

Bilangan real terdiri dari berbagai jenis bilangan yaitu bilangan rasional dan bilangan irasional yang selanjutnya dibagi menjadi jenis bilangan lainnya.

1. Bilangan irasional seperti 2 = 1,4142135…. (tidak berhenti), π = 22/7 = 3,141592653…. (dll)
2. Bilangan bulat seperti 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … dan seterusnya
3. Bilangan bulat negatif -1, -2, -3, -4, -5, … dan seterusnya
4. Angka netral adalah angka 0
5. Bilangan asli adalah bilangan yang dimulai dari 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya
6. Bilangan pecahan seperti ½, 1/3, ¼, 2/5, 3/5 dan seterusnya
7. Bilangan prima adalah bilangan yang pembaginya hanya 1 dan bilangan itu sendiri yaitu 2, 3, 5, 7, 11 dan seterusnya.
8. Bilangan komposit adalah bilangan yang memiliki lebih dari dua faktor pembagi seperti 4, 6, 8, 10, 14, 16 dan seterusnya.

Masalah Bilangan Asli

Selesaikan operasi pertidaksamaan berikut dan tentukan nilai x menurut bilangan real.

A. 2x – 8 B. –7x + 1 > 10x – 4
C. 3x + 7 = 10

Kesimpulan

Bilangan real termasuk dalam salah satu dari 2 klasifikasi utama dalam sistem bilangan selain bilangan imajiner. Berbagai jenis bilangan yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari termasuk ke dalam jenis bilangan real seperti pecahan, bilangan bulat, bilangan desimal dan sebagainya.